Déformations isomonodromiques des connexions de rang 2 sur les courbes
Institution:
Rennes 1Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We consider irreducible tracefree non-singular or meromorphic rank 2 connections over compact Riemann surfaces of arbitrary genus. By deforming the curve, the position of the poles and the connection, we construct the universal isomonodromic deformation of such a connection. Our construction does not need any Stokes analysis for irregular singularities and is thereby more elementary than the construction in arbitrary rank due to B. Malgrange and I. Krichever. This enables us to treat the missing case of resonant singularities. We prove that the underlying vector bundle is generically maximally stable along the universal isomondromic deformation, provided that the initial connection is irreducible. For that purpose, we use an analytic version of M. Maruyama’s semicontinuity-result and we explain the problem geometrically in terms of transversality in foliations. By means of explicit examples we show that the irreducibility-condition is necessary and that the analytic set of parameters which are non-generic in the above sens can be non-algebraic.
Abstract FR:
Nous considérons les fibres à connexion non-singulière ou méromorphe, de rang 2 et sans trace sur les surfaces de Riemann compactes de genre quelconque. En déformant la courbe, la position des pôles et la connexion, nous construisons la déformation isomonodromique universelle d’un tel fibré à connexion. Notre construction est plus élémentaire que la contruction en rang quelconque due à B. Malgrange et I. Krichever au sens où elle ne nécessite pas d’analyse de Stokes des singularités irrégulières. Cela a l’avantage de pouvoir traiter le cas des singularités résonantes. Nous montrons que le fibré vectoriel sous-jacent à la déformation isomono- dromique universelle est génériquement «maximalement» stable, pourvu que le fibré à connexion initial soit irréductible. à cette fin, nous démontrons une version analytique du résultat de semicontinuité de M. Maruyama, puis nous nous ramenons à un problème de transversalité de feuilletages. à l’aide d’exemples explicites, nous montrons que la condition d’irréductibilité est nécessaire et que l’ensemble analytique des paramètres «non génériques» au sens ci-dessus peut être non algébrique.