Abstract FR:

Nous montrons que le point de vue introduit par V. G. Berkovich en géométrie analytique non archimédienne permet de développer, sur toute courbe lisse X, une théorie du potentiel analogue à celle dont on dispose sur une surface de Riemann. La motivation initiale, arithmétique, provient des travaux de R. Rumely. Nous définissons le faisceau des fonctions harmoniques sur X puis vérifions qu'il possède les propriétés usuelles ; le théorème de réduction semi-stable permet de se ramener à des graphes. Nous introduisons alors des espaces de fonctions-test et un opérateur linéaire, analogue du laplacien complexe, se prolongeant par dualité à l'espace des fonctions réelles sur X. Ceci fournit, en particulier, la correspondance attendue entre fonctions sous-harmoniques et mesures de Radon positives sur X. La théorie d'Arakelov en dimension 1 peut être conçue comme l'étude de l'arithmétique des courbes algébriques sur Q via les théories du potentiel associées aux différentes valeurs absolues sur Q.