Systèmes dynamiques en mesure infinie : ergodicité de cocycles : application au billard
Institution:
Rennes 1Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Skew-products obtained as extensions of dynamical systems by cocycles appear naturally in the study of billiards in the plane with periodically distributed obstacles. We present three aspects of the study of skew-products. The first part deals with specific examples. First, following W. Veech, M. Guenais and F. Parreau, we study a cohomological functional equation related to the ergodicity of the billiard transformation in the torus with a barrier. The second example is the extension of bounded partial quotients rotations. Especially we give in connection with a paper of G. Greschonig an example of an ergodic skew-product whose cocycle takes values in a nilpotent group. In a second part, we discuss billiards with rectangular obstacles. We present the corresponding quotient billiard transformation in the torus, recalling the link with translation surfaces, interval exchange transformations, and results on unique ergodicity. Then we discuss the special case of a cylinder with periodic obstacles consisiting of segments, for which one can show recurrence in some cases. The billiard flow in the plane with rectangualr obstacles is also considered for certain directions. In a third independent part, we present a general theorem on the ergodic decomposition for skew-products, generalizing the case of a single transformation to the action of a countable group.
Abstract FR:
Les produits gauches, extensions de systèmes dynamiques par des cocycles, apparaissent naturellement dans l'étude des billards dans le plan dont les obstacles sont répartis périodiquement. Nous présentons trois aspects de l'étude des produits gauches. La première partie traite d'exemples spécifiques. Tout d'abord, à partir des travaux de W. Veech, de M. Guenais et F. Parreau, nous présentons l'étude d'une équation fonctionnelle de cohomologie liée à l'ergodicité de la transformation associée au billard torique ayant un segment comme obstacle. Le second exemple est celui de l'extension d'une rotation à quotients partiels bornés. Nous donnons en particulier, en relation avec un travail de G. Greschonig, un exemple de produit gauche ergodique dont le cocycle est à valeurs dans un groupe nilpotent. Dans une deuxième partie, nous abordons l'étude du billard avec des obstacles rectangulaires. Nous présentons la transformation quotient correspondant au billard torique avec obstacle rectangulaire au centre, en rappelant le lien avec les surfaces de translation et les échanges d'intervalles, et les résultats d'unique ergodicité. Nous traitons ensuite le cas particulier d'un cylindre avec obstacles périodiques constitués de segments pour lequel on peut, dans certains cas, obtenir la récurrence de la transformation associée. Le cas du billard plan à obstacles rectangulaires est également abordé pour certaines directions. Une troisième partie indépendante porte sur un théorème général de décomposition ergodique pour les produits gauches, qui généralise à l'action d'un groupe dénombrable le cas unique transformation.