Abstract FR:

On s'intéresse dans cette thèse au pseudo-spectre d'une classe particulière d'opérateurs non auto-adjoints. Plus précisément, on étudie les propriétés microlocales régissant les phénomènes de stabilité ou d'instabilité spectrale qui apparaissent sous l'effet de petites perturbations pour les opérateurs différentiels définis en quantification de Weyl par des symboles quadratiques elliptiques à valeurs complexes. Nous établissons une condition nécessaire et suffisante simple portant sur le symbole de Weyl de tels opérateurs, qui assure la stabilité de leurs spectres. Lorsque cette condition est violée, nous démontrons qu'il se développe de très fortes instabilités spectrales pour les hautes énergies de ces opérateurs dans des régions -- qui peuvent être très éloignées de leurs spectres - dont nous donnons une description géométrique précise. Nous étudions des critères géométriques d'existence de quasi-modes semi-classiques pour des opérateurs pseudo-différentiels généraux.