Abstract FR:

Soit k/q une extension cyclique de degre premier impair l et de conducteur f ; soient g = < > son groupe de galois, h son nombre de classes et e son groupe des unites modulo 1. Soit f le sous-groupe de e des unites cyclotomiques. On a alors h = (e : f). Le groupe e peut etre considere comme un z#l-module, le groupe f en etant, par definition, un sous-z#l-module libre de rang 1 engendre par une unite cyclotomique. L'objectif de cette these est d'expliciter et de rendre plus performante la methode de devissages successifs de qui permet d'atteindre le groupe e et, simultanement, de calculer h. On s'est souvent pose le probleme de savoir s'il existe une unite dite unite de minkowski telle que e = < >#z###l#. Or z##l n'est principal que pour un nombre tres restreint de cas et tout porte a croire que l'existence d'une unite de minkowski est en defaut dans le cas non principal. Le premier chapitre de cette these generalise (au cas non principal) la methode de devissages de l'unite cyclotomique. Le second chapitre propose un test local de divisibilite de h par un nombre premier impair p. Le troisieme chapitre de cette etude est consacre a la demonstration d'un theoreme montrant qu'une unite de k est dans k#x#p des que la trace de sa racine p-ieme est dans z. Le quatrieme chapitre developpe l'etude de la famille (etendue au cas des conducteurs non premiers) des corps cycliques quintiques d'e. Lehmer. Par la methode de devissages de l'unite cyclotomique, on dresse une table de ces corps particuliers (de conducteurs f 3. 10#5) et de leur nombre de classes. Le cinquieme chapitre est consacre a d'autres applications numeriques: dans un premier temps on dresse la table des corps cycliques de degre 5 (et de conducteur f 10000) donnant les nombres de classes et les unites de ces corps. Dans un deuxieme temps on etudie le cas d'un corps de nombres de degre 23 pour lequel on conjecture que l'existence d'une unite de minkowski est en defaut