Méthodes algébriques pour la résolution d’équations différentielles matricielles d’ordre arbitraire
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Abstract EN:
In this thesis, we develop new algebraic methods for solving an important class of systems of linear differential equations of arbitrary order. Such systems appear in many scientific disciplines such as chemistry, physics, mechanics and control theory. Firstly, we are interested in the local analysis of systems of linear ordinary differential equations near a singularity. We develop algorithms for the computation of their regular formal solutions. These algorithms are direct, i. E. , do not reduce the system to another one of firstorder and larger size. Our approaches use properties of matrix polynomials whose determinant plays the same role as indicial polynomials in the scalar case. Then, we are interested in the study of the so-called k-simple forms of a linear differential system of first-order. These forms give information on the integer slopes of the Newton polygon of the system and allow the computation of the formal solutions without ramification. Our contribution is reflected in the development of a direct method for the calculation of k-simple forms. Secondly, we focus on systems of linear differential-algebraic equations. Such systems are composed of differential equations coupled with algebraic ones. We propose algorithms for decoupling them into a purely differential part and a purely algebraic one. Another contribution of the thesis is the study of the complexity and the implementation in Maple of the algorithms developed.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous développons de nouvelles méthodes algébriques pour la résolution d’une classe importante de systèmes d’équations différentielles linéaires d’ordre arbitraire. De tels systèmes apparaissent dans de nombreuses disciplines scientifiques comme la chimie, la physique, la mécanique et la théorie du contrôle. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’analyse locale des systèmes d’équations différentielles linéaires ordinaires au voisinage d’une singularité. Nous développons des algorithmes pour le calcul des solutions régulières formelles. Ces algorithmes sont directs, c’est-à-dire, ne transforment pas le système en un autre du premier ordre et de taille plus grande. Nos approches sont fondées sur l’utilisation des propriétés des matrices polynomiales dont le déterminant joue le même rôle que les polynômes indiciels dans le cas scalaire. Puis, nous nous intéressons à l’étude des formes dites k-simples d’un système différentiel linéaire explicite du premier ordre. Ces formes donnent des informations sur les pentes entières du polygone de Newton du système et permettent de calculer les solutions formelles sans ramification. Notre contribution se reflète par le développement d’une méthode directe pour le calcul des formes k-simples. Dans un second temps, nous étudions les systèmes d’équations algébro-différentielles linéaires. De tels systèmes sont composés d’équations différentielles ordinaires couplées à des équations purement algébriques. Nous proposons des algorithmes pour les découpler en une partie purement différentielle et une autre purement algébrique. Une autre contribution de la thèse est l’étude de la complexité et l’implémentation en Maple de nos divers algorithmes mis en oeuvre.