Abstract FR:

"Dans la première partie de la thèse, nous posons la question de la convergence des solutions positives d'une équation de parabolique dégénérée, où le terme de diffusion est non linéaire, monotone, avec une dérivée nulle ou non-définie en zéro ; les conditions de bord non-homogènes, mixtes. Nous prouvons que, pour la dimension un d'espace, toute solution positive bornée converge, quand le temps tends vers l'infini, vers un état d'équilibre. Nous montrons pour la dimension supérieure à un que tout élément de l'ensemble omega limite est solution d'un problème stationnaire. Ces résultats s'inspirent surtout des travaux de Feireisl et Simondon [36], Matano [66], [67] et Angenent [3]. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un système de deux équations d'évolution d'ordre deux et quatre, issu de la modélisation des phénomènes diffusifs dans les milieux solides, surtout les alliages. La non linéarité qui y est présente n'est définie que sur un ensemble compact de R2, ce qui entraine une " contrainte " sur les valeurs des fonctions inconnues. Nous montrons, outre l'existence et l'unicité de la solution faible, la structure de l'ensemble omega limite, l'existence d'un attracteur compact et la convergence d'un schéma numérique d'éléments finis vers la solution faible. Le modèle que nous étudions fut introduit par Cahn et Novick-Cohen dans [18] ; nous présentons son origine physique et la nature multi-échelle des phénomènes qu'il décrit. "