Abstract FR:

L'objectif de cette these est d'analyser des approximations de problemes non lineaires par la methode des elements finis, d'un point de vue theorique et numerique. Dans un premier temps, nous developpons un cadre general presente dans caloz-rappaz, 1994 permettant d'etudier les approximations de galerkin de problemes non lineaires. En generalisant des techniques classiques utilisees pour des problemes lineaires, basees sur les normes a poids, nous obtenons des estimations quasi-optimales en norme infinie sur un probleme modele. Nous etudions egalement l'erreur d'approximation pour le probleme de navier-stokes stationnaire incompressible. Enfin, nous adaptons les techniques de caloz-rappaz pour majorer l'erreur dans un probleme du type reaction-diffusion. Dans un deuxieme temps, une analyse de l'erreur locale nous permet de developper une methode d'adaptation de maillages. En construisant un maillage proche des lignes de niveau de la solution a etudier, c'est-a-dire en utilisant des quadrangles tels que la direction locale en x soit tangente aux lignes de niveau et la direction y soit normale, on obtient une majoration fine de l'erreur. Le probleme de minimisation de l'estimateur d'erreur nous amene alors a equirepartir un indicateur local d'erreur. Un algorithme utilisant un tel critere d'adaptation est developpe. Cette methode iterative est integree a une methode iterative de resolution de problemes non lineaires. Cette partie theorique est completee par un important travail numerique. Les resultats obtenus permettent de valider la methode developpee