Abstract FR:

Nous nous intéressons à un aspect quantitatif du dix-septième problème de Hilbert : construire une famille de polynômes en deux variables, à coefficients réels, de degré 8 en l'une des deux variables qui sont positifs mais ne sont pas somme de trois carrés de fractions rationnelles. Comme expliqué par Huisman et Mahé, un polynôme donné P en deux variables à coefficients réels, totalement positif, unitaire, sans facteur carré et de degré multiple de 4 en l'une des variables est une somme de trois carrés de fractions rationnelles si et seulement si la jacobienne d'une certaine courbe hyperelliptique (associée à P) possède un point "antineutre". Grâce à ce critère, et en suivant une méthode de Cassels, Ellison et Pfister, nous résolvons notre problème : à l'aide d'une 2-descente, nous montrons que la jacobienne associée à un certain polynôme positif est de rang de mordell-Weil nul, puis nous vérifions que cette jacobienne n'a aucun point de torsion antineutre.