Abstract FR:

Nous commençons par définir les faisceaux d'opérateurs différentiels de niveau m sur un log-schéma fin (X,M) au-dessus d'un Zp-log-schéma. Nous donnons une description de ces faisceaux D et de leur structure en coordonnées locales dans le cas log-lisse, analogue à celle donnée par Berthelot dans le cas non logarithmique. Nous étudions ensuite l'action du morphisme de Frobenius sur les D-modules, montrant tout d'abord que F* induit une élévation du niveau. Par contre le théorème de descente démontré par Berthelot pour des schémas usuels est généralement en défaut pour des log-schémas. Nous reprenons donc les travaux de Lorenzon, qui associe à un log-schéma une algèbre canonique A, et nous établissons une équivalence de catégories entre (A x D)-modules et (B x D)-modules indexés par Mgp/O*. Nous déduisons enfin de cette équivalence la finitude de la dimension cohomologique des faisceaux D, lorsque X est un schéma lisse sur un corps et M est défini par un diviseur à croisements normaux.