Abstract EN:

Cette thèse consiste en l'analyse numérique de méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger : sur le tore de dimension d, on s'intéresse à la résolution numérique de l'équation de Schrödinger linaire avec potentiel multiplicatif, de l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et de l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une première partie, on étudie des méthodes de splitting en temps, symplectiques, pour l'équation de Schrödinger linéaire avec potentiel multiplicatif. Dans l'asymptotique des petits potentiels, on démontre par une méthode perturbative un théorème de forme normale pour le propagateur de ces méthodes. Ce théorème permet ensuite de démontrer des propriétés de conservation en temps long de la régularité de la solution numérique pour des pas de temps non résonnants. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique de méthodes de Runge-Kutta exponentielles pour l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une perspective d'ordre élevé et en temps fini, on donne des conditions suffisantes pour que les méthodes de collocation à s points soient d'ordre s, s+1 et s+2 pour les deux types de problèmes envisagés. On illustre, quantifie et explique en outre l'effet des résonnances numériques qui apparaissent lors de la résolution des problèmes linéaires inhomogènes par de telles méthodes.