Abstract FR:

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de létude des propriétés des fonctions q-aires dans les systèmes de chiffrement à clé secrète et leurs liens avec la théorie des codes correcteurs d'erreurs. Nous nous intéressons, en particulier, à trois classes de fonctions : les fonctions booléennes et vectorielles dégénérées, les fonctions booléennes normales et les fonctions parfaitement non linéaires définies sur Zq. Dans une première partie, nous donnons une caractérisation des fonctions vectorielles dégénérées en terme de transformée de Fourier-Hadamard qui se traduit plus facilement dans le cas des fonctions booléennes. Puis, après avoir donné une condition suffisante pour qu'une fonction donnée soit normale, nous montrons que toutes les fonctions booléennes à n variables, le nombre n étant inférieur ou égal à 7, sont normales. Nous terminons cette partie par un exemple de fonction non normale à 8 variables (jusqu'à présent, aucune de ce genre n'était connue). Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux fonctions q-aires parfaitement non linéaires définies sur l'anneau Zq. Nous montrons que, parmi toutes les constructions connues de fonctions courbes généralisées, aucune ne peut produire des fonctions parfaitement non linéaires ayant un nombre impair de variables. Nous introduisons donc une construction de fonctions parfaitement non linéaires définies pour un nombre quelconque de variables. Nous terminons cette étude par un exemple qui permet de vérifier que cette construction est réalisable.