Abstract FR:

A l’heure actuelle, il est intéressant de développer de nouvelles approches de simulations numériques pour profiter de l’explosion de la puissance de calcul des ordinateurs. Une méthode récente, baptisée X-FEM (eXtended Finite Element Method), est basée sur la méthode des éléments finis classiques couplée à l’utilisation de fonctions de niveau, appelées Level Set. Ces fonctions permettent la représentation géométrique d’interfaces matériau, de trous, de fissure, sans qu’il soit nécessaire de mailler ces surfaces, ce qui est actuellement le point délicat des méthodes FEM classiques. Il est aisé dans X-FEM de prendre en compte une condition naturelle sur cette interface non-maillée, cependant, il n’en va pas de même pour une condition essentielle, de type Dirichlet, du fait que l’interface n’est plus discrétisée. Les travaux de cette thèse ont pour but de permettre la prise en compte de ce type de condition sur l’iso-zéro de la Level Set. Dans une première partie, différentes méthodes dans le but de vérifier une condition de Dirichlet sur ce type de surface sont présentées. L’étude porte dans un premier temps sur la méthode de Nitsche puis sur une méthode de projection L2 couplée à un enrichissement local du champ d’interpolation basé sur la partition de l’unité. Enfin, une méthode de multiplicateurs de Lagrange est présentée. Le point délicat de cette méthode est l’obtention de l’espace d’interpolation approprié, pas trop riche afin d’éviter les phénomènes de "locking", mais suffisamment pour permettre une bonne vérification de la condition de Dirichlet. L’injection de résine dans un moule préalablement garni de fibres (procédé RTM) est alors simulé par ces différentes méthodes. La simulation de ce procédé conduit à la résolution d’un problème de Laplacien en variable de pression avec des conditions aux limites de type Neumann sur les bords du moule et de type Dirichlet sur la zone d’injection de résine et le front, représenté par l’iso-zéro de la Level set. Enfin, ces méthodes sont utilisées pour la simulation de l’impact hydrodynamique, appelé tossage, dans le cas d’un dièdre rigide impactant à vitesse constante. Les équations régissant le phénomène sont écrites en potentiel des vitesses dans un référentiel fixe par rapport à la structure. Le fait de résoudre les équations de manière générale permettra un passage au problème 3D plus aisé et le changement de référentiel, une prise en compte d’éventuelles déformations de la structure.