Abstract EN:

Nous nous intéressons dans le cadre de cette thèse à une classe particulière de problèmes qui apparaissent fréquemment en robotique (et dans beaucoup d'autres domaines comme la chimie, la biologie moléculaire, la conception assistée par ordinateur (CAO), et l'aéronautique). Ces sont les systèmes d'équations de distance avec des incertitudes. Nous considérons les valeurs entachées d'incertitudes comme des valeurs qui ne sont pas exactement connues mais que l'on peut considérer comme étant dans des limites bien définies. Ces valeurs sont représentées par des intervalles, et représentent fréquemment les mesures de quantités physiques. Dans les modèles, elles peuvent apparaître sous forme de paramètres existentiellement quantifiées. Résoudre un problème avec des incertitudes signifie trouver l'ensemble des points solutions en considérant les inexactitudes des données, afin d'obtenir des réponses certifiées (dans le sens où aucune solution n'est négligée). Le but des travaux contenus dans cette thèse est de résoudre des systèmes d'équations de distance avec des incertitudes dans leurs paramètres de la manière la plus précise possible, en combinant différentes techniques d'analyse par intervalles et de programmation par contraintes. Une approximation fréquemment utilisée pour gérer de tels problèmes est de remplacer les paramètres mal connus par des valeurs réelles, et ainsi ne pas prendre en compte les incertitudes. Nous montrons que cette approche n'est pas adaptée, surtout quand les solutions doivent être certifiées (par exemple, pour des raisons de sécurité pour un robot chirurgical). Dans une première phase, nous proposons un algorithme spécifique de type Branch and Prune combiné avec une bissection conditionnelle qui permet de calculer une approximation grossière des différents ensembles contenant des continuums de solutions pour un problème donné. Comme la donnée d'une approximation grossière (une boîte) de chaque continuum de solutions n'est pas suffisante dans tous les cas, il est parfois nécessaire de calculer une approximation plus précise décrivant chaque ensemble continu de valeurs admissibles. Nous montrons que pour calculer cette approximation, il faut considérer un test de boîte intérieure, afin de détecter des parties de l'espace contenant seulement des solutions au problème. L'utilisation d'un tel test réduit la quantité de boîtes produites, et fournit plus d'informations µa propos des différentes zones solutions. Nous proposons et comparons quelques tests adaptés pour les équations de distance avec incertitudes. Etant donné un point solution appartenant µa un continuum de solutions, on peut s'intéresser µa une boîte autour de ce point qui soit totalement incluse dans le continuum de solutions (pour des raisons de tolérance, par exemple). Pour cela nous proposons une stratégie de construction d'une telle boîte basée sur des résultats théoriques sur les intervalles modaux combinés avec une technique connue de programmation par contraintes appelée projection. Finalement, nous illustrons les techniques développées dans cette thèse sur un problème de robotique qui consiste µa calculer la position et l'orientation d'un robot parallèle.