Méthode en deux phases pour la résolution exacte de problèmes d'optimisation combinatoire comportant plusieurs objectifs : nouveaux développements et application au problème d'affectation linéaire
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Abstract EN:
The purpose of this work is the exact solution of multi-objective combinatorial optimisation problems with the two phase method. For this, we use assignment problem as a support for our investigations. The two phase method is a general solving scheme that has been popularized by Ulungu in 1993. The main idea of this method is to exploit the specific structure of combinatorial optimisation problems in a multi-objective context. It has been applied to a number of problems, with a limitation on the bi-objective case. We present improvements in this method and in its application to the bi-objective assignment problem. In particular, we propose improved upper bounds and the use of a ranking algorithm as main routine in the second phase of the method. We propose next a generalisation of this method to the multi-objective case, done in two steps. For the first phase, we analyse the weight set decomposition in correspondance with the nondominated extreme points. This allows us to highlight a geometric notion of adjacency between these points and an optimality condition on their enumeration. The second phase consists in the definition and the exploration of the area inside of which enumerations are required to finalize the resolution to the problem. Our solution is based primarily on an appropriate description of this area, that allows to explore it by analogy with the bi-objective case. It is therefore possible to reuse a strategy developped for this case. Experimental results on three-objective assignment problem show the efficiency of the method.
Abstract FR:
Dans ce travail, nous nous intéressons à la résolution exacte de problèmes d'optimisation combinatoire multi-objectif par la méthode en deux phases. Pour cela, nous utilisons le problème d'affectation comme support de nos investigations. La méthode en deux phases est un cadre de résolution général qui a été popularisé par Ulungu en 1993 avec comme idée centrale d'exploiter la structure spécifique des problèmes d'optimisation combinatoire pour leur résolution dans un contexte multi-objectif. Elle a depuis été appliquée sur un grand nombre de problèmes, en se limitant toutefois au contexte bi-objectif. Nous apportons des affinements à cette méthode et à son application au problème d'affectation bi-objectif. En particulier, nous proposons des bornes supérieures améliorées et l'utilisation d'un algorithme de ranking comme principale routine pour la seconde phase de la méthode. Nous proposons ensuite une généralisation de cette méthode au contexte multi-objectif, qui est réalisée en deux temps. Pour la première phase, une analyse de la décomposition de l'ensemble des poids en correspondance avec les points supportés extrêmes, nous permet de mettre en évidence une notion d'adjacence géométrique entre ces points, et une condition d'exhaustivité sur leur énumération. La seconde phase consiste en la définition et l'exploration de régions dans lesquelles des énumérations sont nécessaires afin d'achever la résolution du problème. Notre solution repose essentiellement sur une description appropriée de ces régions qui en permet une exploration par analogie avec le cas bi-objectif, et permet donc la réutilisation de stratégies d'exploration existantes pour ce contexte. Les résultats expérimentaux sur le problème d'affectation tri-objectif attestent de l'efficacité de la méthode.