Abstract FR:

Cette thèse aborde deux sujets particuliers de géométrie discrète, les multitriangulations et les réalisations polytopales de produits, dont la problématique commune est la recherche de réalisations polytopales de structures comminatoires. Une k-triangulation est un ensemble maximal de cordes du n-gone convexe ne contenant pas de sous-ensemble de k+1 cordes qui se croisent deux à deux. Nous proposons une étude combinatoire et géométrique des multitriangulations basée sur leurs étoiles, qui jouent ici le même rôle que les triangles des triangulations. Cette étude nous amène à interpréter les multitriangulations par dualité comme des arrangements de pseudodroites avec points de contact de support donné. Nous exploitons finalement ces résultats pour discuter quelques problèmes ouverts sur les multitriangulations, en particulier la question de la réalisation polytopale de leurs graphes de flip. Nous étudions dans un deuxième temps la polytopalité des produits cartésiens. Nous nous interrogeons d'abord sur l'existence de réalisations polytopales d'un produit cartésien de graphes, puis nous recherchons la dimension minimale que peut avoir un polytope dont le k-squelette est celui d'un produit de simplexes.