Utilisation des cyclides de Dupin quartiques et des supercyclides quartiques en modélisation géométrique
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Abstract EN:
In this thesis, we propose new primitives for geometric modeling : quartics Dupin cyclides and quartics supercyclides. Dupin cyclides were invented in 1822 by the french mathematician Pierre-Charles Dupin. These are algebraic surfaces of degree 4 with circular lines of curvature. They have a parametric equation and two equivalent implicit equations. We show the contributions of these surfaces for the geometrical modeling through their use for the blending of algebraic surfaces. The use of the Dupin cyclides permit to replace a 3D blend problem by a simpler 2D blend problem : building two arcs of circles modelled by quadratic rational Bézier curves. Moreover, the initial parametrization of surfaces does not intervene. However, the geometric properties of the Dupin cyclides require that the blended surfaces are revolution surfaces. Thus, the use of the supercyclides permits to generalize the blending to elliptic surfaces. To establish a link between these new primitives and parametric surfaces, which are widely used in geometric modeling, we studied the conversion of cyclides to biquadratic rational Bézier surfaces. In order to entirely represent a Dupin cyclide, we proposed two alternatives of Mike Pratt's algorithm. Then, we proposed two new algorithms based on the barycentric properties of Bézier surfaces. We also give the necessary and nonsufficient conditions to build a biquadratic rational Bézier surfaces convertible to a patch of Dupin cyclide. Three conversion algorithms are then proposed.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles primitives pour la modélisation géométrique : les cyclides de Dupin quartiques et les supercyclides quartiques. Les cyclides de Dupin ont été inventées en 1822 par le mathématicien français Pierre-Charles Dupin. Ce sont des surfaces algébriques de degré 4, à lignes de courbure circulaires, possédant une équation paramétrique et deux équations implicites équivalentes. Nous montrons l'apport de ces surfaces pour la modélisation géométrique à travers l'utilisation de ces cyclides pour la jointure de surfaces algébriques. L'utilisation des cyclides de Dupin permet de remplacer un problème de jointure en 3D par un problème de jointure plus simple en 2D en construisant deux arcs de cercles modélisés par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. De plus, la paramétrisation initiale des surfaces n'intervient pas. Cependant, les propriétés géométriques des cyclides de Dupin impliquent que ces surfaces soient de révolution. Ainsi, l'utilisation des supercyclides permet de généraliser les jointures aux surfaces elliptiques. Pour faire le lien entre ces nouvelles primitives et les surfaces paramétriques, qui sont largement utilisées en modélisation géométrique, nous avons étudié la conversion des cyclides en surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques. Afin de représenter une cyclide de Dupin entièrement, nous avons proposé deux variantes de l'algorithme de Mike Pratt. Puis nous en avons proposé deux autres en utilisant les propriétés barycentriques des surfaces de Bézier. Nous avons également donné des critères nécessaires et non suffisants afin de construire une surface de Bézier rationnelle biquadratique convertible en un carreau de cyclide de Dupin. Trois algorithmes de conversion ont été alors proposés.