Abstract FR:

Dans la première partie, nous construisons, à partir de relations linéaires de récurrence, des invariants de graphes planaires 4-réguliers prenant leurs valeurs dans un anneau commutatif. Ces relations représentent des règles récursives bien définies sur cette catégories de graphes, ramenant le calcul des valeurs de l'invariant en ces graphes à une combinaison linéaire d'autres graphes plus réduits. Après avoir dégagé quelques conditions nécessaires pour que ces règles soient mutuellement compatibles, nous montrons en utilisant un résultat de la théorie des systèmes de réécriture qu'elles sont aussi suffisantes. Nous terminons cette partie en évoquant la relation avec le polynôme de Kauffman et en montrant que, pour une évaluation particulière de ses variables, ce polynôme peut être défini à partir de notre invariant. Ce qui constitue une nouvelle preuve d'existence de ce polynôme. La seconde partie aborde le problème de la détermination du nombre d'absorption des graphes de type grille. Dans un premier temps, nous déterminons ce nombre pour les petites grilles croisées (graphes produit croisé de deux chaînes de longueurs k et n, avec k ≤ 33 et n ≤ 40). En utilisant la programmation dynamique, nous présentons pour k fixé un algorithme linéaire en n pour calculer ce nombre. On en déduit alors que ce nombre vérifie des formules simples en fonction de k et n. Ensuite, nous montrons par récurrence, en prenant ces valeurs comme base de récurrence, que ces formules sont vérifiées par ce nombre, pour tous k = 12 ou k ≥ 14 et n ≥ k. Finalement, nous donnons quelques bornes du nombre d'absorption de la grille carrée (graphe produit carré de deux chaînes) qui améliorent les résultats déjà connus