Surfaces discrètes et frontières d’objets dans les ordres
Institution:
Université de Marne-la-ValléeDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The main object of this thesis is the definition and study of frontier orders. Frontier orders allow us to define the frontier of any object in the framework of partially ordered sets, or posets, used –for example– in topological image processing. Assuming that a given poset is an n-surface, we can guarantee that the frontier order of any object in this poset will be an union of (n−1)-surfaces. It should be noted that this condition is verified for the Khalimsky grids, which are used to represent the topology of the n-dimensional cubical grids. Moreover, we prove that, in the framework of simplicial complexes, the frontier order associated to any set of points is isomorphic to the boundary of the derived neighbourhood of the full subcomplex defined by those points. For the sake of completeness, we also conducted research on the very notion of n-surface. In particular, we prove that n-surfaces are an intermediary structure between combinatorial manifolds and pseudomanifolds. Moreover, following a joint research with S. Alayrangues, P. Lienhardt et J. -O. Lachaud, we introduce operators to convert n-surfaces to a specific subset of n-G-maps, and reciprocally, and we prove that n-surfaces are stable for those operators. From an application-oriented perspective, we show how frontier orders can be used to generate a topologically coherent Marching Cube algorithm for the Khalimsky grid, and how to extend our results to digital topology
Abstract FR:
Cette thèse a pour objectif principal la définition et l'étude de la notion d'ordre frontière, qui permet de définir la frontière de n'importe quel objet dans le cadre des ordres, utilisés entre autre pour le traitement topologique des images discrètes. Les frontières obtenues par cette méthode sont des (n-1)-surfaces, si l'ordre dans lequel s'exprime l'objet étudié est une n-surface, ce qui est en particulier le cas des grilles de Khalismky, ordres utilisés pour modéliser la topologie de la grille cubique. Nous prouvons de plus que, dans le cadre des complexes simpliciaux -que nous envisageons comme une classe particulière d'ordres- la subdivision dérivée de l’ordre frontière associé à un ensemble de points est isomorphe à la bordure du voisinage dérivé du sous-complexe complet qu'ils définissent. Afin de compléter notre étude, nous avons aussi mené des recherches sur la notion de n-surface elle-même. Nous démontrons entre autre que les n-surfaces sont une structure intermédiaire entre variété combinatoire et pseudovariété et, fruit d'une collaboration avec S. Alayrangues, P. Lienhardt et J. -O. Lachaud, nous introduisons des opérateurs permettant de convertir les n-surfaces en un sous ensemble de n-G-cartes et réciproquement et prouvons que les n-surfaces sont stables vis-à-vis de ces opérateurs. D'un point de vue applicatif, nous montrons comment les ordres frontières peuvent être utilisés pour générer un algorithme de type Marching Cube cohérent vis à vis de la grille de Khalimsky et comment il peuvent être utilisés dans le cadre de la topologie digitale. Nous présentons aussi une étude sur la segmentation du neo-cortex cérébral réalisée dans la grille de Khalimsky par le biais d'opérateurs topologiques. Les résultats de cette segmentation sont visualisés au moyen des ordres frontières