Expansions in non-integer base
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of developments in series of powers in real or complex base and with coefficients belonging to a fmite set of non-negative real numbers, named alphabet. When a number x is the sum of a development in series of powers with a base q and alphabet, we say that x is representable in base q and alphabet A. We study the representability in complex base by studying the convex hull of the set of the representable numbers when the base has a rational argument. As the convexity of the set of representable numbers is a sufficient condition for the full representability, such a result gives a new class of numeration Systems in complex base. We then study the numeration System in negative base —q and alphabet A={0,1,. . . ,[q]} and the class of -q-expansions. In particular we extend to the negative case some well known results on the computation of the entropy, the recognisability by fmite automata and the existence of fmite automata performing some arithmetic operations. Finally we assume the base to be real and positive and we study the redundancy of the representations with arbitrary alphabets. We prove the existence of a sort of "generalized Golden Mean" for arbitrary alphabets, namely we show that expansions are never unique if and only if the base is chosen below a critical value. In thé case of a ternary alphabet we explicitely characterize such a critical base as well as the unique expansions for sufficiently small bases.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l'étude des développements en base réelle ou complexe q dans le cas où les chiffres appartiennent à un ensemble fini de réels positifs, l'alphabet A On étudie la représentabilité en base complexe en étudiant l'enveloppe convexe de l'ensemble des nombres représentables lorsque q a un argument rationnel. Comme la convexité des nombres représentables est une condition suffisante pour la représentabilité totale, un tel résultat procure une classe nouvelle de systèmes de numération en base complexe. En suite on étudie le système de numération en base négative -q et alphabet A={0,1,. . . ,[q]} et la classe des -q- développements. En particulier nous étendons au cas négatif des résultats bien connus sur le calcul de l'entropie, la reconnaissabilité par automate fini et l'existence d'automates finis pour effectuer certaines opérations arithmétiques. Finalement on suppose que la base est réelle et positive et on étudie la redondance des représentations avec alphabets arbitraires. Nous prouvons que si la base est positive non entière, il existe une sorte de "nombre d'or généralisé" pour des alphabets arbitraires, c'est-à-dire que nous montrons que les représentations ne sont jamais uniques si et seulement si la base est plus petite qu'une valeur critique. Dans le cas d'un alphabet ternaire nous caractérisons explicitement cette base critique et les représentations uniques pour des bases assez petites.