Coloration et radio k-étiquetage de graphes
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Abstract EN:
The work of this thesis placed in the context of graph theory which presents a study of some coloring problems and other parameters associated with them. The results are applied in issues related to telecommunications networks. Mainly, our contribution focuses on solving problems and conjectures in the literature and on the expansion of knowledge in the field. In first we present a study for different values of k of the radio k-labeling problem introduced by Chartrand et al. In 2002 which consists to assign a label to each vertex of a graph so that the difference between the labels of two vertices at distance d is at least k − d + 1. The goal is to minimize the difference between the largest and smallest label used, called span. We introduce the concept of generalized Gray Code in order to obtain exact results for some graphs. We solve the conjecture of Chartrand et al. 2002 about the antipodal number of the path. The second parameter studied is the fractional total coloring for circulant graphs which consist to assign a fractions of colors to each element (vertex or edge) instead of colors (integers). The fractional chromatic number is the a minimum ratio a/b such that we can assigne a sets of colors of size b to the elements of a graph from a set of a colors such that neighboring elements receive disjoint sets of colors. By using the definition of balanced and complete fractional stable we give for cubic circulant graphs an upper bounds on the fractional total chromatic number and for 4-regular circulant graphs we find the total chromatic number for some cases and we give the exact value of the fractional total chromatic number in most cases.
Abstract FR:
Les travaux de cette thèse se situent dans le cadre de la théorie des graphes et traitent de certains problèmes de coloration et d’autres paramètres qui leur sont associés. Les résultats obtenus trouvent des applications dans des problématiques liées aux réseaux de télécommunications. Principalement, notre contribution porte sur la résolution de problèmes et conjectures de la littérature et sur l’élargissement des connaissances dans le domaine. En premier nous présentons une étude pour différentes valeurs de k du paramètre radio kétiquetage introduit par Chartrand et al. En 2002 , qui consiste à attribuer une étiquette à chaque sommet de sorte que l’écart entre les étiquettes de sommets à distance d soit au moins k+1−d. Le but est de minimiser la différence entre la plus grande et la plus petite étiquette utilisée, appelée plage. Nous introduisons la notion de code de Gray généralisée afin d’obtenir des résultats exacts pour certains graphes. Nous démontrons également une conjecture de Chartrand et al. De 2002 sur les chaînes. Le deuxième paramètre étudié est la coloration fractionnaire totale pour des graphes circulants qui consiste à attribuer aux élément du graphe (sommets ou arêtes) des fractions de couleurs au lieu de couleurs (entiers). Le nombre chromatique fractionnaire est le ratio minimum a/b tel que l’on puisse affecter b couleurs à chaque sommet parmi un ensemble de a couleurs de sorte que deux sommets voisins aient des ensembles de couleurs disjoints. A l’aide de la définition du stable fractionnaire équilibré et complet qu’on a introduit, nous montrons un majorant du nombre chromatique fractionnaire pour les graphes circulants cubiques et des résultats exacts pour certains graphes circulants 4-réguliers.