Quaternions et algèbres géométriques, de nouveaux outils pour les images numériques couleur
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Abstract EN:
The main subject of this PhD thesis is colour image processing. The first methods dealing with these images consisted in applying existing greyscale processing alorithms on each of the three colour components. Colour processing has improved using perceptual colour spaces but also by considering colours as vectors. In this work, we follow the idea of colour modelization and we propose to encode their vectorial information into mathematical models in order to manipulate them globally and geometrically. Three formalisms are presented to cope with colour: complex numbers, quaternions and geometric algebras (also called Clifford algebras). New colour tools are proposed to analyse the digital spectrum embedded in each of these formalisms and the definition of Fourier transforms. We give the main advantages and drawbacks of each model, namely : impossibility for the complex numbers to represent whole colour vectors that needs at least three components to be described properly; distinction between objects and operations on objects (projections, rotations, …) with geometric algebras whereas it is not possible with quaternions. We then showed that the quaternionic Fourier transform analyse colours with a direction whereas the Clifford G3 Fourier transform has not got any direction to analyse the colour so it treats every colour channel independently. Eventually one of the main applications is the definition of a spatial colour edge detector filter using these formalisms.
Abstract FR:
Cette thèse s'inscrit dans le contexte du traitement des images couleur. Les premiers travaux dans ce domaine consistaient à appliquer des traitements existant aux images en niveaux de gris marginalement sur les trois composantes constituant la couleur. Ces traitements ont été améliorés par l'utilisation d'espaces couleur perceptuels et d’approches vectorielles. Dans cette lignée, nous proposons une modélisation mathématique de la dimension vectorielle afin de manipuler globalement les couleurs. Trois formalismes sont présentés pour représenter la couleur : les complexes, les quaternions et les algèbres géométriques. Dans ce cadre, il est proposé de définir de nouveaux outils d'analyse couleur, notamment une caractérisation numérique fréquentielle de ces modèles. Une étude approfondie de leurs utilisations permet de faire ressortir leurs propriétés ainsi que leurs principaux avantages et inconvénients : impossibilité des complexes à représenter les vecteurs couleurs qui par nature s'expriment avec trois dimensions contrairement aux quaternions et aux algèbres géométriques ; distinction entre objets manipulés et opérations effectuées sur ces objets pour les algèbres géométriques contrairement aux quaternions… Enfin, nous avons montré que la transformée de Fourier quaternionique analyse la couleur avec une direction indiquée par un vecteur couleur, tandis que celle définie au moyen de l'algèbre G3, répartit l'information couleur sur des composantes fréquentielles indépendantes. L’utilisation de modèles algébriques pour représenter l'information couleur permet la définition d'un filtre spatial de détection de contours tenant compte de la dispersion dans l'espace couleur.