Abstract FR:

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire bijective et est consacrée à la construction d’une bijection explicite entre deux familles d’objets combinatoires : les matrices à signes alternants (ASMs) et les partitions planes totalement symétriques auto-complémentaires (TSSCPPs). L’histoire a commencé lorsque Milis, Robbins et Rumsey étudiaient les ASMs et proposèrent une formule d’énumération en 1982. Durant leurs recherches, ils découvrirent l’existence d’autres objets comptés par la même formule : les TSSCPPs. Dix ans plus tard, une preuve non bijective de l’équiénumération de ces deux familles fut donnée par Zeilberger. Pour ce faire, Zeilberger utilise deux sous classes de motif de Gelfand-Tsetlin ; les triangles Gog et les triangles Magog. Pendant ces dernières années les recherches se sont multipliées afin de donner une preuve bijective du théorème de Zeilberger. Citons notamment les travaux de Krattenthaler qui construit une bijection explicite entre les trapézoïdes Gog et Magog à une ligne. L’étape suivante, celle des trapézoïdes à deux lignes, semblait inaccessible. L’objectif de cette thèse est de résoudre ce problème grace à l’utilisation d’un outil fondamental en combinatoire, l’involution de Schiitzenberger. Nous avons pour cela défini des nouvelles statistiques sur les triangles Gog et les triangles Magog et nous montrons expérimentalement que la bijection que nous construisons respecte ces statistiques. Nous présentons également de nouvelles conjectures sur ces statistiques.