Fonctions algébriquement constructibles et formes quadratiques
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Abstract EN:
The algebraically constructible functions on a real algebraic set are the sums of signs of polynomials. We place ourselves on the real spectrum of the ring of polynomials of the considered algebraic set: the algebraically constructible functions induce signatures of quadratic forms there. We then use results on quadratic forms in the spaces of signs or orders, which give us geometric results on algebraically constructible functions. We first obtain an algorithmic characterisation of algebraically constructible functions. Then we are interested in writing a given algebraically constructible function with the minimal number of polynomials. We determine this number algorithmically, then we give an upper bound (depending on the dimension of the space and the range of values of the function) whose optimality we show. We can also decide (again algorithmically) whether a polynomial is involved in a description of the function with the minimum number of polynomials. In the third part, we consider constructible Nash functions. We show that in restriction to any compact, these functions coincide with the sign sums of arc-analytic semi-algebraic functions. We then transpose some of the previous results (on algebraically constructible functions) to the constructible Nash case. In particular, we obtain a characterisation of constructible Nash functions, and results on the minimal number of arc-analytic semi-algebraic functions to describe a constructible Nash function on a compact.
Abstract FR:
Les fonctions algébriquement constructibles sur un ensemble algébrique réel sont les sommes de signes de polynômes. On se place sur le spectre réel de l'anneau des polynômes de l'ensemble algébrique considéré : les fonctions algébriquement constructibles y induisent des signatures de formes quadratiques. On utilise alors des résultats sur les formes quadratiques dans les espaces des signes ou des ordres, qui nous donnent des résultats géométriques sur les fonctions algébriquement constructibles. On obtient tout d'abord une caractérisation algorithmique des fonctions algébriquement constructibles. On s'intéresse ensuite à l'écriture d'une fonction algébriquement constructible donnée avec le nombre minimal de polynômes. On détermine ce nombre de manière algorithmique, puis on en donne une borne supérieure (dépendant de la dimension de l'espace et de l'intervalle des valeurs de la fonctions) dont on montre l'optimalité. On sait aussi décider (toujours de manière algorithmique) si un polynôme intervient dans une description de la fonction avec le nombre minimal de polynômes. Dans la troisième partie, on considère les fonctions Nash constructibles. On montre qu'en restriction a tout compact, ces fonctions coïncident avec les sommes de signes de fonctions semi-algébriques arc-analytiques. On transpose alors certains des résultats précédents (sur les fonctions algébriquement constructibles) au cas Nash constructible. On obtient notamment une caractérisation des fonctions Nash constructibles, et des résultats sur le nombre minimal de fonctions semi-algébriques arc-analytiques pour décrire une fonction Nash constructible sur un compact.