Abstract FR:

La presente these contient cinq chapitres et une annexe. Les trois premiers chapitres sont centres sur le theme des equations fonctionnelles alors que les deux restants sont lies a l'analyse combinatoire. Dans le premier chapitre, on considere les singularites des equations differentielles lineaires, en constatant que, dans des cas irreguliers generiques, les invariants de birkhoff peuvent etre obtenus par l'etude de la confluence de points singuliers reguliers. Comme application, on etudie ensuite explicitement l'equation hypergeometrique de kummer: la confluence de points singuliers est etroitement liee a une interpretation de la transformee de laplace en terme de limite de transformees d'euler. Dans le troisieme chapitre, on s'interesse a une approche, completement elementaire, pour estimer la croissance des solutions entieres des equations lineaires aux q-differences ou aux differences. Le quatrieme chapitre est consacre a une generalisation de la formule de worpitzky sur les nombres euleriens. Il en resulte une nouvelle representation de type combinatoire pour la fonction gamma dans le domaine complexe. Dans le dernier chapitre, apres avoir introduit la notion nouvelle de serie de newton q-analogue, on etudie dans un contexte tres vaste les nombres euleriens et les nombres de stirling de seconde espece. On obtient une version q-analogue du resultat central du chapitre 4. L'annexe est extraite d'une note traitant, par une methode legerement differente, le meme sujet que le second chapitre