Abstract FR:

Soit Ω d’un ouvert régulier de Cn, depuis les travaux de Stein sur les classes Lipchitz de fonctions holomorphes, on sait qu'une fonction holomorphe dans Ω se comporte au moins deux fois mieux dans les directions complexes tangentes que dans la direction complexe normale. Cette idée découle d'un principe de géométrie élémentaire: l'existence en tout point z de poly disques centrés en z, de taille proportionnelle à la racine de la distance de z au bord de Ω dans les directions complexes tangentes. Lorsque Ω est de type fini, nous montrons que l'amélioration du comportement des fonctions holomorphes dans les directions complexes tangentes est encore plus grande, elle dépend en chaque point de l'aplatissement de Ω et est liée a l'existence de polydisques de plus grande taille. Beaucoup d'auteurs se sont posés le problème réciproque: la régularité d'une fonction holomorphe dans les directions complexes tangentes entraine-t-elle une régularité moindre dans les autres directions? Laquelle et sous quelles conditions? La condition naturelle à imposer sur Ω est une condition de type fini. Elle permet d'obtenir des estimations réciproques tenant compte de l'aplatissement de Ω. Notre démarche consiste à établir des estimations ponctuelles entre les gradients et les gradients tangents de fonctions holomorphes, la partie essentielle de ce travail étant ce que nous appelons l'estimation ponctuelle réciproque qui donne une majoration du gradient d'ordre k des fonctions holomorphes par une moyenne, sur un polydisque adapte à la géométrie de Ω, du gradient tangent d'ordre k, a un reste près. De ces estimations ponctuelles, nous déduisons une caractérisation des espaces fonctionnels définis sur Ω de type Lipchitz, Besov, Sobolev, Hardy-Sobolev en terme de dérivées complexes tangentes