Abstract FR:

Nous etudions plusieurs questions d'analyse harmonique sur les espaces de gel'fand-levitan. Ceux-ci apparaissent comme des extensions naturelles des paires de gel'fand et permettent en outre l'etude simultanee de nombreuses algebres de banach associees a des polynomes orthogonaux, ainsi qu'a certains operateurs differentiels singuliers de type sturm-liouville sur la demi-droite reelle. . . Apres une discussion situant notre axiomatique par rapport aux travaux anterieurs, nous developpons l'etude de la transformation de fourier associee: formule dee plancherel. Theoremes de type bochner. . . Deux classes importantes de fonctions de type positif se presentent. Nous prouvons que dans le cas de type fort, les fonctions sont bornees. Ce resultat montre a lui seul l'importante difference entre nos espaces et le cas particulier des groupes localement compacts abeliens, ou cette propriete est consequence triviale des definitions. Nous restreignons ensuite notre etude a la croissance de type puissance. Dans ce cadre, nous prouvons d'importantes proprietes de synthese spectrale de type l#1, utilisant pour ce faire certaines proprietes de moyennabilite. Nous etudions ensuite les semi-groupes de mesures de probabilites. Apres une etude complete du cas symetrique, nous prouvons une generalisation d'un theoreme de g. Choquet et j. Deny: les fonctions bornees invariables par une mesure de probabilite adaptee sont constantes. Enfin, nous developpons les outils necessaires a l'etude complete du renouvellement des semi-groupes de probabilites. Nous generalisons ainsi les resultats de s. L. Port et c. J. Stone relatifs a la situation des groupes localement compacts abeliens