Abstract FR:

On considere les anneaux de polynomes a coefficients dans une suite croissante d'anneaux integres : si a = (a#n)#n##n est une telle suite, on pose ax = +#n##na#nx#x. L'objet de cette these est l'etude des proprietes de factorisation de l'anneau ax. On determine tout d'abord, des conditions necessaires ou suffisantes pour que ax soit atomique, c'est a dire pour que tout element se decompose en produit de facteurs irreductibles. Le resultat principal est une generalisation des travaux de m. Roitman sur les anneaux de polynomes classiques. On s'interesse ensuite a l'elasticite de ax. On rappelle que l'elasticite d'un anneau atomique r est le nombre reel (eventuellement infini) (r) = supm/n | x#1. . . X#m = y#1. . . Y#n, chaque x#i, y#j r est irreductible ; si (r) = 1, c'est a dire si deux decompositions d'un meme element ont la meme longueur, on dit que r est hfd. On montre que l'elasticite de ax est infinie si la suite a n'est pas stationnaire. En outre, on observe que l'anneau ax n'est jamais hfd sauf s'il est de la forme a + xbx (ou a b est une extension d'anneaux integres, correspondant a une chaine a a deux termes). On etudie alors la condition hfd pour les anneaux de ce type, repondant ainsi a une question posee par v. Barucci et al. Puis on etudie quelques exemples : on montre que l'elasticite de l'anneau z + xbx, ou b est une extension entiere de z, est infinie. Enfin, on obtient des resultats divers et precis pour les anneaux de la forme zd + xz(1 + d)/2x ou d est un entier non nul sans facteurs carres, d 1 (mod 4). On considere, pour finir des chaines stationnaires a telles que a#n = a#n#+#1 pour un entier n 1 (contrairement au cas precedent). On s'interesse plus particulierement au cas d'une suite a trois termes ou a#1 = a#2 et a#n = a#2 pour n 2. On montre que si la constante de davenport du groupe abelien a#2/a#1 est infinie alors l'elasticite de ax est infinie. Si par contre la constante de davenport de a#2/a#1 est finie, on montre par des exemples que l'elasticite de ax peut etre finie ou infinie.