Abstract FR:

Cette thèse se présente en deux parties indépendantes. Dans la première partie on montre l'existence d'une solution autosimilaire positive, à symétrie radiale, continuement différentiable et à support compact en espace d'une équation d'évolution non linéaire. Pour cela, on étudie les solutions positives de l'équation différentielle vérifiée par le profil des solutions autosimilaires. Ce résultat complète, entre autres, celui de y. W. Qi (1993) sur l'équation en milieu poreux avec terme source. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux solutions périodiques d'une équation différentielle d'ordre deux. Cette équation est en fait équivalente à un système hamiltonien faisant intervenir une fonction régulière g. On sait alors que si g et sa dérivée g vérifient certaines hypothèses, il existe une orbite périodique située dans le plan de phase, d'énergie c et de période t. Notre principal résultat est d'énoncer une condition sur g et ses dérivées, moins restrictive que celles déjà connues, pour que la période t soit une fonction croissante de l'énergie c. On donne ensuite quelques exemples pour des fonctions g spécifiques. Enfin, on montre que l'on peut directement appliquer notre résultat pour déterminer le nombre de solutions périodiques d'une o. D. E.