Abstract FR:

Pour un système hamiltonien autonome, l'hamiltonien h est une intégrale première. Et on dit qu'un système hamiltonien autonome a 2 degrés de liberté est complètement intégrable ou intégrable s'il existe une autre intégrale première f analytique et fonctionnellement indépendante de h. Problème pose : dans quels cas f peut exister ? Pour ce faire, nous cherchons d'abord une solution particulière appartenant a un sous espace vectoriel complexe de dimension 2. Soit g le groupe de monodromie de l'équation variationnelle normale le long de cette solution. Un élément de g est dit résonant si ses valeurs propres sont racines n-iemes de l'unité. Nous avons alors le théorème de Ziglin : supposons qu'il existe un élément g non résonant de g. Si le système est intégrable, alors tout élément de g permute ou laisse invariants les sous espaces propres de g. Nous introduisons ensuite la notion de dp élément et, a partir du théorème de Ziglin, nous obtenons le corollaire : s'il existe 2 éléments m et m de g tels que m n'est pas résonant et m n'est pas un dp élément, alors le système n'est pas intégrable. On peut aussi utiliser le groupe de Ziglin. Un sous groupe g de gl(2,c) est un groupe de Ziglin s'il existe une fonction rationnelle f invariante sous l'action de tout élément de g. On a alors le théorème 3 de ziglin : si le système est intégrable, alors le groupe de monodromie de l'équation variationnelle normale est un groupe de Ziglin. La détermination des groupes de Ziglin se fait ainsi avec l'algorithme de Kovacic. Nous avons étudie avec la théorie de Ziglin, qui donne des conditions nécessaires d'intégrabilité, les hamiltoniens suivants : Henon-Heiles, Ollongren, Toda, Holt ; potentiels : cubique, quartique.