Abstract FR:

Ce mémoire s'intéresse à des problèmes de Cauchy abstraits. L'attention est portée particulièrement aux solutions prolongeables analytiquement par rapport à la variable de temps au plan complexe tout entier. Dans ce but, une famille d'opérateurs continus sur un espace de Fréchet, associant la donnée initiale à la solution et permettant de prolonger celle-ci de manière entière, est définie. Des résultats de perturbation sont obtenus pour les générateurs de ces familles. Cette théorie est appliquée à l'étude des problèmes de Cauchy abstraits lorsque l'espace de Fréchet est un espace de vecteurs entiers pour un opérateur fermé. Une comparaison est faite entre la théorie précédente et la théorie des groupes entiers C-régularisés de R. DeLaubenfels. Pour ces derniers, des résultats de perturbation et des estimations de croissance seront obtenus. L'équivalence algébrique et topologique entre l'espace des vecteurs entiers pour un opérateur fermé A et l'espace des solutions du problème de Cauchy correspondant est montré lorsque l'opposé de A est le générateur d'un semi-groupe fortement continu holomorphe. Ce dernier problème devenant bien posé sur cet espace de vecteurs entiers. L'étude faite sur un espace de vecteurs entiers pour un problème de Cauchy abstrait indépendant du temps sera à des problèmes d'évolution en définissant un propagateur entier.