Abstract FR:

Les singularites jouent un role important dans la topologie des systemes integrables. Je definis les notions de singularites non degenerees (sens semi-local) et simplement degenerees (cas de 2 degres de liberte). Le resultat principal est une forme canonique pour les singularites non degenerees de codimension 1 et les singularites foyer-foyer (de codimension 2). Je traite ensuite des espaces d'orbites. L'outil principal est leur structure affine. Le comportement de ces structures au voisinage des singularites permet de comprendre la structure globale de ces espaces. Je montre notamment que les ouverts lisses de dimension 2 des espaces d'orbites (2 degres de liberte) ont une topologie tres speciale. On arrive a un probleme de chirurgie. Je definis la chirurgie integrable et l'utilise pour construire des exemples de varietes symplectiques, par exemple des structures symplectiques exotiques sur l'espace euclidien, des varietes symplectiques reglees et des varietes symplectiques compactes de dimension 4 munies de systemes integrables et ayant un groupe fondamental prescrit, etc. Je traite enfin des systemes integrables restreints a des surfaces d'energie (theorie de fomenko). En particulier, j'ai inclus des resultats obtenus avec bolsinov sur le cobordisme des systemes integrables a 2 degres de liberte: c'est une application de la chirurgie integrable et des espaces d'orbites. J'etudie les structures de contact compatibles avec un systeme integrable et montre l'existence de systemes integrables non cobordants a zero. J'etudie de facon detaillee les structures de contact qui sont compatibles avec le systeme integrable. J'obtiens un resultat complet pour les structures de contact localement invariantes par une operation du cercle