Abstract FR:

On considère un système de coxeter, un sous-système parabolique, et les deux algèbres de Hecke correspondantes. Pour tout caractère de degré un de l'algèbre de Hecke parabolique, on considère le module induit de l'algèbre de Hecke parabolique à la grande algèbre de Hecke. Ce module possède une base standard et deux bases de Kazhdan-Lusztig (invariantes par un automorphisme involutif du module). Il en résulte la définition, pour chaque caractère linéaire de l'algèbre de Hecke parabolique, De deux familles de polynomes de Kazhdan-Lusztig, dont on étudie les diverses propriétés : existence et unicité, symétrie, dualité, formules de récurrence, calcul en utilisant la notion de sous-expression distinguée d'une expression réduite d'un élément du groupe de Coxeter. Cela généralise une construction faite par V. Deodhar et qui correspondrait aux deux cas extrèmes des caractères indice et signe. Enfin, on établit des formules donnant l'action de l'algèbre de Hecke sur les modules induits en terme de bases de Kazhdan-Lusztig. Dans une deuxième partie, on donne une interprétation géométrique de cette situation dans le cas du groupe de Weyl d'un groupe réductif et du module induit de la représentation indice : par une méthode inspirée par les travvaux de Mars et Springer, on interprète l'action d'un élément de la base de Kazhdan-Lusztig de l'algèbre de Hecke sur un élélment de la base de Kazhdan-Lusztig de ce module comme un produit de faisceaux pervers sur le groupe réductif. Cela redonne, par une méthode directe, l'interprétation géométrique classique de la famille de polynomes associée au caractère signe