Abstract FR:

En analyse indeterminee, les equations de congruence definies par les courbes algebriques sur un corps fini, etudiees depuis diophante d'alexandrie, sont maintenant utilisees systematiquement dans le traitement de l'information. A. Weil a donne une formule fondamentale pour le nombre de points de ces courbes, qui permet de majorer ce nombre en fonction de leur genre, un entier mesurant sa complexite. On peut preciser les resultats de weil afin d'obtenir des inegalites plus fines, comme l'ont montre s. Vladut, v. Drinfiel'd et j. -p. Serre. On obtient une famille infinie d'identites, les formules explicites, qui sont analogues a celles introduites en theorie des nombres. On peut alors se poser la question de la recherche des inegalites optimales. L'objet de cette these est de donner des demonstrations completes de la solution explicite de cette question. Cette solution a ete donnee par j. Oesterle, mais il n'a pas publie les demonstrations de ses resultats. On traduit d'abord cette question en un probleme d'optimisation en analyse fonctionnelle, en utilisant des espaces de mesures et de series de fourier sur le cercle unite. La recherche de la borne optimale revient alors a un probleme de programmation lineaire. Ensuite pour la recherche des solutions admissibles, on est conduit a introduire de nouvelles approximations de l'unite, les noyaux de fejer deployes. Il faut enfin verifier que les inegalites obtenues a partir de ces noyaux sont bien optimales, ce qui est le cas (sauf quelquefois en caracteristique 2). Pour terminer, on fournit des tableaux de bornes optimales pour de petites valeurs du genre de la courbe et du nombre d'elements du corps.