Abstract FR:

Etant donnee une algebre centrale simple a, munie d'une involution , on peut lui associer de facon naturelle une forme quadratique, a savoir la frome t# definie par t#(x) = trd#a((x)x). Cette forme est un invariant de la donnee de l'algebre et de l'involution, c'est-a-dire que deux algebres a involution isomorphes ont des formes traces isometriques. On peut egalement considerer la restriction t#+# de t# au sous-espace des elements invariants sous l'involution. Le but principal de ce travail est l'etude des invariants de ces deux formes quadratiques, en tant qu'invariants de l'algebre a involution. Quand le corps de base est formellement reel, on peut ainsi definir la signature d'une involution comme etant la racine carree de la signature de la forme trace. Cette definition est due a lewis et tignol dans le cas des involutions de premiere espece. On en propose ici une generalisation au cas des involutions de deuxieme espece. Pour ce qui est des invariants de type cohomologique, on donne tout d'abord une nouvelle definition du discriminant d'une involutions de premiere espece, en fonction du determinant de la forme trace restreinte t#+#. On montre egalement que dans ce cas, les invariants de hasse des formes traces se calculent en fonction du degre de l'algebre, de sa classe dans le groupe de brauer, et du discriminant de l'involution ; ils ne permettent donc pas de definir un nouvel invariant de l'algebre a involution. Pour ce qui est des involutions de seconde espece, on commence par montrer que le determinant et l'invariant de hasse de la forme trace sont triviaux. En revanche, l'invariant de hasse de la forme trace restreinte permet de definir un invariant non-trivial de l'algebre a involution, qu'on appelle classe determinante modulo 2. Il est lie a la classe dans le groupe de brauer de l'algebre discriminante de (a, ), definie par knus, merkurjev, rost et tignol. Par ailleurs, par des methodes de cohomologie galoisienne, on definit un nouvel invariant de (a, ), qu'on appelle classe determinante, a valeurs dans le quotient de h#2(k, ##n) par l'action de #2, ou ##n est une forme tordue du groupe #n des racines n#i#e#m#e#s de l'unite. Enfin, on montre que la classe determinante modulo 2 est la reduction modulo 2 de la classe determinante. Dans la derniere partie, on propose des applications de ce qui precede a l'etude de la decomposabilite des algebres a involution. En particulier, on construit une involution indecomposable de deuxieme espece sur une algebre de biquaternions a division.