Abstract FR:

Nous abordons le probleme de l'estimation des fonctionnelles integrales non lineaires d'une densite et de ses derivees. L'observation dont nous disposons est un n-echantillon d'une loi de densite f. Le chapitre 2 concerne l'estimation de fonctionnelles integrales non lineaires de la densite, dans le cadre abstrait ou la densite est supposee appartenir a un ellipsoide f inclus dans l'ensemble des fonctions de carre integrable. Cette etude couvre le cadre multidimensionnel. Les estimateurs sont construits a l'aide d'un developpement de taylor a l'ordre 2 de la fonctionnelle au voisinage de f ou f est un estimateur preliminaire de la densite, base sur une petite partie de l'echantillon. Avec le reste de l'echantillon, nous estimons les fonctionnelles lineaires et les fonctionnelles quadratiques de la densite, qui apparaissent dans le developpement de taylor. Sous certaines conditions concernant l'ellipsoide f, nous obtenons des estimateurs efficaces, et des resultats du type theoreme de la limite centrale. Dans le cas particulier ou f est une densite sur ir#d, admettant une regularite d'ordre s, l'efficacite et la normalite asymptotique sont obtenues des que s est strictement superieur a d/4. Ce resultat est optimal, en effet, si s est inferieur a d/4 il est impossible de construire des estimateurs qui convergent a la vitesse semi-parametrique. Dans le chapitre 3, nous estimons des fonctionnelles integrales non lineaires de la densite et de ses k premieres derivees. Nous supposons que f est a support dans un compact de ir, qu'elle est periodique ainsi que ses derivees et que f admet une regularite d'ordre s superieur a k. Nos estimateurs sont efficaces et asymptotiquement gaussiens des que s>2k+1/4. Lorsque 1<s2k+1/4, nous obtenons une vitesse de convergence optimale. Le chapitre 4 presente les resultats de simulations. Nous comparons notamment les performances d'estimateurs proposes dans la these avec celles d'estimateurs etudies anterieurement