Abstract FR:

L'objet de cette thèse est 1. Soit un o ouvert borne dans r#n, n entier supérieur ou égal a 2, de classe c#2. On étudie alors le comportement au bord des solutions, au sens faible, u positive de l'équation elliptique -Laplacien u = u#q dans o (1) ou q est un réel strictement supérieur a 1 et strictement inférieur a n + 1/n 1, l'exposant critique. Nous montrons que : a) toutes solutions admet une trace m au bord qui est une mesure de radon positive. B) pour m une mesure de radon positive, il existe des solutions de (1) ayant m comme trace si et seulement si la masse de m n'est pas trop grande. C) les solutions de (1) se comportent prés du bord comme le potentiel de poisson de la mesure de radon m. 2. La deuxième partie propose un schéma itératif, généralisant celui de Bence, Merriman et Osher, pour approcher des mouvements de front dont la vitesse normale dépend de la courbure. Nous utilisons la théorie des solutions de viscosité afin de définir les mouvements de fronts en un sens faible par ligne de niveau.