Abstract FR:

Le but de cette thèse est de relier les fonctions L p-adiques et les périodes p-adiques des variétés abéliennes. Sur le corps des complexes on dispose d'un résultat d'Anderson, qui exprime les dérivées logarithmiques en s = 0 des fonctions l de Dirichlet à l'aide des périodes des (Jacobiennes des) courbes de Fermat. Cependant ce résultat n'est pas complètement satisfaisant en ce sens qu'il ne donne une formule qu'à un nombre algébrique près et qu'il ne traite pas le cas des fonctions L d'Artin générales. C'est dans ce but que Colmez a énoncé une conjecture égalant une fonction d'origine arithmétique (construite à l'aide des dérivées logarithmiques en s = 0 des fonctions L d'Artin) et une fonction d'origine géométrique (dont le terme principal est donné par les périodes des variétés abéliennes à multiplication complexe). L'objet de cette thèse est de dégager l'analogue p-adique de cette conjecture, ce qui se fait en trois temps. Le premier pas consiste à définir l'anneau des périodes p-adiques des groupes formels à multiplication formelle et à étudier l'action du groupe de Weil cristallin sur celui-ci. Dans un deuxième temps nous construisons l'analogue p-adique de la fonction d'origine géométrique de Colmez, à valeurs dans l'anneau sus-cité. Le dernier chapitre est dévolu à la mise en place de la conjecture proprement dite et à sa démonstration dans le cas abélien (lorsque le corps de multiplication complexe est une extension abélienne du corps des nombres rationnels).