Abstract FR:

Le but de ce travail est de faire une analyse du second ordre des fonctions non différentiables. Dans une première partie, on donne des conditions suffisantes qui permettent d'assurer l'existence et de donner des estimations de la dérivée directionnelle du second ordre, au sens de ben-tal et zowe, d'une fonction marginale générale. Cela nous amène à introduire et à étudier une notion analogue de dérivation du second ordre pour une multiplication. Dans une deuxième partie, on considère l'importance classe des fonctions convexes non nécessairement différentiables définies sur un espace vectoriel topologique localement convexe quelconque. On introduit deux nouveaux ensembles convexes qui jouent le rôle d'un sous-différentiel du second ordre d'une telle fonction, le premier d'entre eux dépendant du choix particulier d'un sous-gradient. On étudie d'une façon exhaustive les propriétés générales de tels ensembles et, ensuite, on énonce des règles de calcul qui en donnent des estimations lorsque la fonction convexe est construite à partir d'autres plus simples. La plupart des opérations qui préservent la convexité ont été considérées. Finalement, on montre comment les notions de sous-differentiabilité du second ordre nous permettent de généraliser, du moins sous forme conceptuelle, les algorithmes de minimisation du type newton au cadre de l'optimisation convexe non différentiable