Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des racines d'un polynôme. Nous présentons un résultat nouveau qui nous permet de calculer le nombre de racines d'un polynôme P dans le disque unité ouvert noté N(P) par un calcul de variation en signe de la suite de mineurs principaux de la matrice de Schur-Cohn associée à P, dans le cas où on a un ou plusieurs groupes de mineurs consécutifs nuls sauf le dernier mineur. Cependant l'application de ce résultat nécessite un coût de calcul de mineurs important. Nous montrons donc l'existence d'une suite de polynômes construite de manière rapide et efficace en terme de nombre d’opérations arithmétiques et de contrôle de la croissance des coefficients intermédiaires. Avec cette nouvelle formulation et ce résultat, nous obtenons un algorithme qui détermine N(P) avec un coût calcul moins élevé. Nous étudions le cas où on a une constante de Schur-Cohn nulle et donnons une formule de Henrici généralisée. Ensuite, nous rappelons la méthode de Hermite pour localiser les racines d'un polynôme dans d'autres régions du plan complexe telle que l'axe réel, le demi-plan supérieur et à l'intérieur du disque unité. Elle permet aussi de calculer le nombre de zéros isolés réels d'un système polynomial. Enfin, nous traitons le cas où le polynôme admet un facteur autoréciproque et donnons un algorithme général et efficace de calcul de N(P). Comme application, nous présentons une méthode qui factorise un polynôme autoréciproque à coefficients réels de degré pair et sans racines sur le cercle unité, en un produit de deux polynômes dont l'un admet tous ses racines dans le disque unité ouvert et l'autre n'a pas de racines dans ce disque.