Abstract FR:

Dans cette these sont adaptes des resultats classiques de theorie des nombres dans le cadre des polynomes a coefficients dans un corps fini en utilisant les idees de carlitz et drinfeld. Dans le premier chapitre sont rappelees des proprietes standard satisfaites par les entiers naturels, qui seront adaptes dans les chapitres suivants. Elles portent essentiellement sur diverses notions de pseudo-primalite. Dans le second, on donne la construction de carlitz d'un polynome exposant un autre polynome. Contrairement a l'analogie usuelle, celle de carlitz presente l'avantage de dependre vraiment du polynome en exposant et pas seulement de son degre. Plus precisement, si on designe par $$sigmas$$ l'endomorphisme de frobenius, alors le module de carlitz $$gamma$$ est le morphisme de $$f#qt$$-module defini par $$gamma#t=sigma + t id$$, et l'exponentiation est definie par $$ap=gamma#p(a)$$ ou $$a$$ et $$p$$ sont dans $$f#qt$$. Le module de carlitz est le prototype des modules de drinfeld dont quelques proprietes sont enoncees. Un autre module de drinfeld defini par $$phi#t:=-tsigma+t id$$ sera aussi utilise. Le chapitre 3 est dedie aux quotients de fermat pour les polynomes, et le chapitre 4 aux polynomes cyclotomiques. Le reste de la these est consacre a diverses notions de pseudo-primalite. Les polynomes de carmichael et les polynomes pseudo-premiers en une certaine base sont etudies au chapitre 5. Dans le chapitre 6 est defini un symbole quadratique et on donne la loi de reciprocite qu'il satisfait. Ceci permet de definir au chapitre 7 des polynomes pseudo-premiers euleriens. On y defini aussi les polynomes pseudo-premiers forts. Dans le chapitre 8, le calcul du nombre de bases pour lesquelles un polynomes est pseudo-premier eulerien ou fort conduit a l'analogue des tests de solovay-strassen et miller-rabin. Enfin, le dernier chapitre est consacre aux polynomes de mersenne et de fermat.