Abstract FR:

L'objet de cette thèse est d'étudier les propriétés des élements analytiques au sens de Krasner sur des ensembles aussi généraux que possible. En particulier, les notions d’éléments quasi-minore et quasi-inversible définies par A. Escassut pour des fermes bornes sont généralisées à des ensembles quelconques. Nous comparons alors ces deux classes et nous montrons qu'elles possèdent des propriétés topologiques très intéressantes. Dans le cas d'une algèbre d’éléments analytiques, parmi les semi-normes multiplicatives continues nous déterminons celles qui sont des valeurs absolues: Elles sont caractérisées par l'emplacement de leurs filtres circulaires associés par rapport aux t-filtres. Entre autres, nous donnons en toute généralité une condition nécessaire et suffisante d'existence de valeurs absolues continues. L’étude de la factorisation d'un élément analytique en facteurs singuliers a montré que certains énoncés de résultats de Motzkin ne sont pas vrais, nous proposons alors une nouvelle présentation de cette décomposition à l'aide des séries de Mittag-leffler. Nous concluons cette thèse par une application des résultats précédents d'une part à la caractérisation des homomorphismes entre algèbres d’éléments analytiques et d'autre part a l’étude des prolongements des solutions des équations différentielles logarithmiques