Abstract FR:

Ce travail de these consiste en l'etude des equations apparaissant dans certains modeles de transition de phase. Il existe deux versions pour ces modeles. Une version a taille discrete representee par le systeme de becker-doring. Il est constitue d'une infinite d'equations differentielles ordinaires et est base sur l'application de la loi d'action de masse a des reactions binaires dominees par le gain ou la perte d'une seule particule a la fois. Une version a taille continue representee par les equations de lifshitz-slyozov, constituees d'une equation hyperbolique couplee avec une equation integrale. Nous avons ecrit une nouvelle version continue : les equations de lifshitz-slyozov modifiees. Elles sont constituees d'une equation de type parabolique a coefficients non constants couplee avec une equation integrale. L'interet de ce nouveau modele est que, contrairement au modele classique de lifshitz-slyozov, les equilibres en details fournissent une densite de saturation comparable a celle obtenue pour les equations discretes de becker-doring. De plus, comme dans le cas discret et contrairement au cas de lifshitz-slyozov classique, les equilibres en detail obtenus n'ont pas un caractere monodisperse. Ce nouveau modele conserve la notion de densite de saturation, perdue dans le modele de lifshitz-slyozov classique. Nous avons montre l'existence de solutions globales en temps pour ce nouveau modele par une technique de point fixe (theoreme de schauder). L'existence et l'unicite de la solution pour l'equation parabolique est obtenue par la methode de faedo-galerkin en utilisant des estimations a priori et un principe du maximum satisfait par la solution. Des estimations sur les moments de la densite en taille nous ont permis de montrer l'unicite de la solution pour le probleme couple. Dans la derniere partie nous avons presente des resultats numeriques pour le modele de becker-doring et celui de lifshitz-slyozov modifie. Ces deux modeles coincident pour les grandes tailles de systeme et les temps grands.