Abstract FR:

Cette these a pour objet l'etude de la geometrie differentielle locale et globale des variations de structure de hodge (vsh). Des theoremes de pincement relatifs a des courbes munies d'une vsh sont prouves, generalisant un resultat de mok relatifs a des courbes dans les varietes modulaires de siegel. Ils sont lies aux classiques inegalites d'arakelov. Puis, l'etude d'analogues multidimensionnels est entamee. Reprenant une idee de gromov, nous montrons des theoremes d'annulation pour des formes harmoniques de carre integrable a valeurs dans une vsh sur le revetement universel de sa base. Nous en deduisons des inegalites mettant en jeu les classes caracteristiques des fibres de hodge d'une vsh et les classes caracteristiques de la base (inegalites d'arakelov). Nous les relions a des caracterisations conjecturales de cycles geodesiques dans les espaces localement symetriques hermitiens generalisant nos theoremes de pincement. Nous prouvons enfin que ces inegalites d'arakelov sont des phenomenes de nature globale, non reductibles a un calcul de courbure local