Abstract FR:

La premiere partie de cette these est consacree a l'analyse de la sensibilite (du premier et) du second ordre des valeurs propres d'un operateur symetrique. Dans un premier temps, nous exploitons des resultats fins concernant la perturbation de sous-espaces invariants dus a stewart, afin d'etablir l'existence de deux types de derivees directionnelles secondes pour la m-ieme plus grande valeur propre m. La situation est differente du point de vue de l'epi-differentiabilite : on montre, en effet, que m est deux fois epi-derivable si et seulement si cette valeur propre se situe en debut d'un groupe de valeurs propres egales. Nous etendons cette analyse au cadre plus general des fonctions spectrales convexes. Enfin, nous nous penchons sur la question de la sensibilite du premier-ordre de toutes les valeurs propres non nulles d'un operateur autoadjoint compact. L'approche variationnelle permet d'expliciter la derivee directionnelle classique ainsi que la derivee generalisee de clarke de l'application m-ieme plus grande valeur propre. L'objet de la seconde partie est l'analyse de principes variationnels non-homogenes rattaches aux elements propres d'une matrice symetrique reelle. Certaines de ces formulations sont dues a auchmuty qui les presenta comme alternatives au quotient de rayleigh. Apres avoir decrit les proprietes variationnelles de ces fonctions, nous montrons que leur non-homogeneite en font des candidates plus adaptees a la minimisation que le critere de rayleigh couramment utilise. Nous developpons alors une serie d'algorithmes bases sur l'un de ces principes et destines a estimer la plus grande paire propre d'une matrice symetrique de (tres) grande taille. Dans une derniere partie, nous decrivons de nouveaux principes variationnels non-homogenes destines a estimer la largeur du spectre et le conditionnement d'une matrice symetrique.