Abstract FR:

Cette these est constituee de deux parties. Leur point commun est l'etude d'equations aux derivees partielles dont l'inconnue est assujettie a prendre ses valeurs dans une variete. La premiere partie est motivee par l'etude mathematique des cristaux liquides. Dans un premier temps nous etudions le probleme de dirichlet pour les applications harmoniques entre le disque et la sphere. Nous repondons entierement a la question de la multiplicite des solutions en fonction de la donnee au bord. Nous considerons ensuite le flot de la chaleur associe aux applications harmoniques entre deux varietes et nous montrons l'existence d'une solution globale au probleme de cauchy par petites donnees initiales. Finalement, nous construisons des solutions faibles pour ce flot, ainsi que pour le flot associe aux energies relaxees. Un resultat de non-unicite est egalement prouve. La deuxieme partie est consacree a l'etude du probleme de cauchy pour les equations d'ishimori qui decrivent l'evolution d'un systeme de spins en ferromagnetisme. Nous montrons que pour la premiere fois l'existence d'une solution forte globale pour petites donnees initiales