Abstract FR:

Cette thèse s'organise autour de deux thèmes. Le premier concerne les solutions de viscosité continues d'EDP paraboliques non linéaires gérées par un hamiltonien H. Le second se rapporte aux solutions de carré intégrables d'EDS rétrogrades engendrées par un générateur F. Notre but, dans les deux cas, est d'obtenir des estimations de la solution sous certaines propriétés intrinsèques par rapport aux fonctions H et F. Pour cela, nous avons utilisé l'approche dite version faible de la méthode de Bernstein introduite par G. Barles. Les propriétés en question sont appelées conditions de structure. Dans la première partie, nous avons établi une généralisation de cette approche au cas des EDP paraboliques. Ainsi, nous avons obtenu, sous certaines conditions de structure par rapport à H, un résultat de régularité lipschitzienne en x des solutions de viscosité continues. Concernant le comportement de telles solutions par rapport au temps, nous avons établi un résultat de type effets régularisants quand H satisfait certaines hypothèses de croissance. Dans la deuxième partie, nous avons obtenu des estimations à priori des solutions de carré intégrables d'EDSR linéaires ou les coefficients vérifient une certaine condition de structure. Nous avons étendu ce résultat au cas paramètre (resp. Markovien) pour obtenir un résultat de régularité lipschitzienne par rapport à (resp. X) quand F satisfait certaines conditions de structure. Par des techniques similaires, nous avons établi un résultat d'unicité pour les solutions de carré intégrables d'EDSR