Abstract FR:

On considere un espace symetrique semi-simple g/h ou g est un groupe de lie semi-simple complexe et h une forme reelle de g. On etudie les fonctions h-invariantes sur g/h qui sont solutions propres des operateurs differentiels g-invariants sur g/h. De telles fonctions sont dites spheriques. Dans la premiere partie, nous montrons qu'une fonction generalisee spherique sur un ouvert h-invariant v de g/h est une fonction localement integrable sur v et analytique sur l'ensemble des points reguliers de v. Nous donnons egalement des conditions suffisantes pour qu'une fonction h-invariante et localement integrable sur g/h soit spherique. Dans la deuxieme partie, on suppose que l'algebre de lie h de h admet une sous-algebre de cartan compacte t. On note t le sous-ensemble de cartan associe a t. On montre qu'une fonction generalisee spherique sur g/h est determinee par sa restriction a t. Ensuite, a partir d'une fonction generalisee h-invariante et temperee f sur h qui est solution propre des operateurs differentiels h-invariants a coefficients constants sur h, on construit une fonction generalisee spherique f' sur g/h. Lorsque la fonction f est la transformee de fourier de l'orbite d'un element regulier elliptique du dual de h sous l'action de la representation coadjointe de h, on obtient une serie continue de fonctions generalisees spheriques sur g/h. Sur un exemple, on montre comment cette serie continue intervient dans la formule d'inversion pour g/h. Ceci donne un lien entre l'analyse harmonique sur g/h et la methode des orbites