Abstract FR:

Par des techniques d'ondelettes, on détermine le comportement local d'une version bidimensionnelle de la série lacunaire de Riemann, en termes d'exposant de Holder et d'oscillation. On présente les idées fortes et les outils de l'analyse des singularités des fonctions à l'aide de la transformée en ondelettes continue. Via une étude détaillée de la fonction de Jacobi autour des points irrationnels, on peut classer les points du plan en « cusps » (ou points de rebroussement) et « chirps » (ou singularités oscillantes), et on exhibe des phénomènes oscillatoires spécifiques à la dimension 2. Les résultats font intervenir de manière très fine les propriétés arithmétiques des irrationnels, à travers le développement en fractions continues. On calcule ensuite par comptage le spectre des singularités de la fonction de Riemann, prouvant sa nature multifractale. On vérifie la validité du formalisme multifractal dans ce cas, qui vise à calculer le spectre à partir d'estimations en moyenne sur la fonction.