Abstract FR:

Cette these comprend deux parties. La premiere est consacree a l'etude de quelques proprietes de la marche aleatoire simple, la seconde traite des reactions limitees par diffusion avec transition de phase dans l'etat stationnaire. Dans la partie traitant de la marche aleatoire simple, l'objet central de l'etude est le support de la marche, c'est-a-dire l'ensemble des sites visites. Nous considerons en detail les proprietes topologiques du support d'une marche bidimensionnelle. Combien y a-t-il d'ilots de sites non visites enfermes dans le support apres un grand nombre de pas ? quelle est la longueur de la courbe formant l'interface entre les regions visitees et les regions non visitees ? nous montrons alors que le nombre de sites visites, le nombre d'ilots et la longueur de la frontiere, fluctuent proportionnellement a une unique variable aleatoire. En dimension 3, nous montrons que la propriete d'universalite des fluctuations vaut toujours pour les variables analogues, mais qu'elle est mise en defaut des que d > 3. Nous concluons par les proprietes d'auto-correlation temporelle de ces variables. Nous etudions dans la seconde partie une reaction modelisant la propagation d'une epidemie mettant en jeu deux especes. Son etat stationnaire presente une transition de phase continue alors que l'on varie la densite totale de particules de part et d'autre d'une valeur seuil. Cette transition est caracterisee par des lois d'echelle que nous determinons en exploitant une version dynamique du groupe de renormalisation a la wilson. Nous considerons le probleme obtenu en remplacant le mouvement purement diffusif des particules par des vols de levy. Nous cherchons a etendre nos methodes d'etude aux reactions se deroulant en presence d'un desordre gele.